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Mathématiques

Sommaire

Résolution d’un problème sur les nombres complexes

Facile

Niveau Terminale S - Terminale STI Sciences et technologies industrielles

Utilisation d’un vidéo-projecteur

En classe entière

Géométrie dynamique - Calcul formel

 Présentation de l’activité

À tout point M(z) on associe M’(z’), avec z’ = f(z) = z² + 1.

Activité tirée du sujet du baccalauréat S de Nouvelle-Calédonie en mars 2003.

  Public / Niveau

Terminale S ou terminale STI Sciences et technologies industrielles

 Prérequis

  • Connaissance des nombres complexes
  • Résolution dans \mathbb{C} d’un trinôme

 Déroulement de l’activité

  • Avant de traiter les questions, on peut déjà montrer que contrairement aux transformations habituelles (symétries, ...) l’alignement n’est pas conservé.
  • Le traitement de la question 1. (antécédent(s) de 0) et de la question 2. (point(s) invariant(s)) peuvent être concrétisées de la manière suivante :
  • Les élèves ont parfois du mal à résoudre la question 3. (2 points symétriques par rapport à O ont même image), car il est nécessaire d’introduire deux points quelconques.
    Si on leur demande comment résoudre géométriquement le problème, ils pensent plus facilement à introduire ces deux points.
  • Pour la question 5.b., en déplaçant N sur « son » cercle, on met en évidence le mouvement de N’. Si nécessaire, on montre la trace de N’.
    On aperçoit bien l’alignement de O, N et N’, donc la colinéarité des vecteurs \vec{ON} et \vec{ON’}.
    Mais d’une part l’ordre des points n’est pas toujours le même, d’autre part le sens des vecteurs n’est pas toujours le même : la figure donne plus de sens à l’égalité vectorielle, en permettant d’explorer les différents cas.

 Utilisation d’un tableau numérique interactif

Les questions enchainées :

Correction GeoGebra format HTML - 4.5 ko

Le diaporama de la séance :

Diaporama format PDF - 148.8 ko

 Utilisation de Xcas en ligne

Étape Instruction à entrer dans la console Expression mathématique Valeur retournée par Xcas
1 cZeros(z^2+1=0,z) Résoudre dans \mathbb{C}, l’équation z^2+1=0 \textcolor{red}{[-i,i]}
2 cZeros(z^2+1=z,z) Résoudre dans \mathbb{C}, l’équation z^2+1=z \textcolor{red}{\left[ \frac{1}{2}(1+i\sqrt{3}),\frac{1}{2}(1-i\sqrt{3})\right]}
3 assume(x,’real’) Définir x comme réel DOM_FLOAT
4 assume(y,’real’) Définir y comme réel DOM_FLOAT
5 f := (z)->z^2+1 Définition de la fonction f : z \mapsto z^2+1 (z)->z^2+1
6 f(x+(i)*y) Calcul de f(x+iy) (x+iy)² + 1
7 evalc(f(x+(i)*y)) Écriture de f(x+iy) sous la forme X+iY x² - y² + 1 + iyx*2
8 evalc(f(x-(i)*y)) Écriture de f(x-iy) sous la forme X+iY x² - y² + 1 + iy(- (2x))
9 evalc(f(-x-(i)*y)) Écriture de f(-x-iy) sous la forme X+iY x² - y² + 1 + iyx*2

Fichier de restauration (module console) de Xcas en ligne :

Console de Xcas en ligne format Texte - 1.4 ko
Mise à jour : 10 novembre 2017