Utilisation d’un vidéo-projecteur - Manipulation de l’ordinateur
En groupe
Présentation de l’activité
(C) est un cercle, M un point du plan et d une droite passant par M. On se propose d’étudier le produit scalaire où A et B sont les points d’intersection, lorsqu’ils existent, de la droite d et du cercle (C).
Public / Niveau
Testé en première S mais également réalisable en classe de première STI
Objectifs
Utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour émettre des conjectures
Réinvestir les connaissances sur le produit scalaire pour démontrer ces conjectures en s’aidant des apports visuels et dynamiques du logiciel.
Durée
Une séance d’une heure en salle informatique pour faire la construction, émettre les conjectures puis faire les démonstrations.
Une demi-heure pour la correction et prolonger la question.
Notions réinvesties
Relation de Chasles.
Identité remarquable.
Propriétés opératoires du produit scalaire.
Ce qui a été fait avant
Utilisation du projeté orthogonal pour le calcul d’un produit scalaire
Déroulement de l’activité
[20 min] : Lecture de l’énoncé (pas de grand problème rencontré) et recherche des propriétés du produit scalaire étudié, mise en commun des conjectures.
[10 min] : Début de la démonstration : construction d’un point auxiliaire (le point diamétralement opposé à A) puis utilisation du projeté orthogonal.
[15 min] : Démonstration de la propriété d’invariance du produit scalaire.
[10 min] : Démonstration du signe du produit scalaire.
Évaluation
Il y aura évaluation à 3 niveaux :
Réalisation de la figure
Émission des conjectures à partir de la figure dynamique
Rédaction des démonstrations
Fichiers utiles
Le fichier d’appropriation du problème :
(C) est un cercle, M un point du plan et d une droite passant par M. On se propose d’étudier le produit scalaire où A et B sont les points d’intersection, lorsqu’ils existent, de la droite d et du cercle (C).
Bouger, soit le point vert pour déplacer la droite d, soit le point M.
Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique GeoGebra pour faire apparaître une figure facilement exploitable.
Le dynamisme de la figure est primordial à l’élève pour émettre les conjectures.
Les données analytiques du logiciel permettent de contrôler à chaque étape de la démonstration, ses résultats.
Prolongements possibles
On peut par exemple chercher le lieu des points M dont on connaît la puissance par rapport au cercle (introduction aux lignes de niveau).
Dans le document suivant, on cherche l’ensemble des points M dont la puissance par rapport au cercle (C) est égale à 20.
Pour cela, il suffit de bouger le point M.
Si M est en bleu, la puissance de M par rapport à (C) est strictement supérieure à 20 et si M est en vert, la puissance de M par rapport à (C) est strictement inférieure à 20.