Mathématiques

Puissance d’un point par rapport à un cercle

Niveau 1ère S - 1ère STI ; Géométrie dynamique

mercredi, 18 janvier 2012

http://maths.ac-amiens.fr/089-puissance-d-un-point-par-rapport-a-un-cercle.html

Relativement facile

Utilisation d’un vidéo-projecteur - Manipulation de l’ordinateur

En groupe

Présentation de l’activité

(C) est un cercle, M un point du plan et d une droite passant par M. On se propose d’étudier le produit scalaire $\vec{MA}.\vec{MB}$ où A et B sont les points d’intersection, lorsqu’ils existent, de la droite d et du cercle (C).

Public / Niveau

Testé en première S mais également réalisable en classe de première STI

Objectifs

Utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour émettre des conjectures
Réinvestir les connaissances sur le produit scalaire pour démontrer ces conjectures en s’aidant des apports visuels et dynamiques du logiciel.

Durée

Une séance d’une heure en salle informatique pour faire la construction, émettre les conjectures puis faire les démonstrations.
Une demi-heure pour la correction et prolonger la question.

Notions réinvesties

Relation de Chasles.
Identité remarquable.
Propriétés opératoires du produit scalaire.

Ce qui a été fait avant

Utilisation du projeté orthogonal pour le calcul d’un produit scalaire

Déroulement de l’activité

[20 min] : Lecture de l’énoncé (pas de grand problème rencontré) et recherche des propriétés du produit scalaire étudié, mise en commun des conjectures.
[10 min] : Début de la démonstration : construction d’un point auxiliaire (le point diamétralement opposé à A) puis utilisation du projeté orthogonal.
[15 min] : Démonstration de la propriété d’invariance du produit scalaire.
[10 min] : Démonstration du signe du produit scalaire.

Évaluation

Il y aura évaluation à 3 niveaux :

Réalisation de la figure
Émission des conjectures à partir de la figure dynamique
Rédaction des démonstrations

Fichiers utiles

Le fichier d’appropriation du problème :

(C) est un cercle, M un point du plan et d une droite passant par M.
On se propose d’étudier le produit scalaire $\vec{MA}.\vec{MB}$ où A et B sont les points d’intersection, lorsqu’ils existent, de la droite d et du cercle (C).
Bouger, soit le point vert pour déplacer la droite d, soit le point M.

S’il vous plaît, installer Java 1.5 (ou ultérieur) pour visualiser cette page.

La version finale

Figure GeoGebra - Version finale format HTML - 917 octets

Apport des TICE

Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique GeoGebra pour faire apparaître une figure facilement exploitable.
Le dynamisme de la figure est primordial à l’élève pour émettre les conjectures.
Les données analytiques du logiciel permettent de contrôler à chaque étape de la démonstration, ses résultats.

Prolongements possibles

On peut par exemple chercher le lieu des points M dont on connaît la puissance par rapport au cercle (introduction aux lignes de niveau).

Dans le document suivant, on cherche l’ensemble des points M dont la puissance par rapport au cercle (C) est égale à 20.
Pour cela, il suffit de bouger le point M.
Si M est en bleu, la puissance de M par rapport à (C) est strictement supérieure à 20 et si M est en vert, la puissance de M par rapport à (C) est strictement inférieure à 20.

Figure GeoGebra - Prolongement format HTML - 923 octets

Personne à contacter pour cette activité : Cyrille DOURIER

En visitant la page http://maths.ac-amiens.fr/089-puissance-d-un-point-par-rapport-a-un-cercle.html, vous pourrez télécharger ces documents :

Document donné aux élèves, (PDF - 91.6 kio)
Document donné aux élèves, (OpenDocument Text - 60.8 kio)
Document pour le professeur, (PDF - 111.1 kio)
Document pour le professeur, (OpenDocument Text - 91 kio)
Figure GeoGebra, (Fichier GeoGebra - 4.9 kio)
Figure GeoGebra (version finale), (Fichier GeoGebra - 5.7 kio)
Figure GeoGebra (version prolongement), (Fichier GeoGebra - 4.6 kio)