Mathématiques

Un fil pour un carré et un triangle équilatéral

Niveau 1ère S - 1ère STI - 1ère ES ; Géométrie dynamique

mercredi, 22 février 2012

http://maths.ac-amiens.fr/121-un-fil-pour-un-carre-et-un-triangle-equilateral.html

Relativement facile

Manipulation de l’ordinateur

En groupe

Travail à réaliser à la maison

Présentation de l’activité

On coupe un fil de longueur 48 m en deux parties.
L’une permet de construire un carré, l’autre un triangle équilatéral.

Comment doit-on couper ce fil pour que la somme des deux aires du carré et du triangle soit minimale ?
Comment obtenir la valeur exacte ?

Niveau

Première S en module, première STI

Durée

1 heure en salle info, puis un devoir à rendre pour la valeur exacte.

Prérequis

En maths :

Fonctions trinômes, dérivation et extremum

TICE :

Utilisation d’un curseur GeoGebra

Objectifs

En maths :

Réinvestir les connaissances :

• Propriétés des fonctions trinômes.
• Recherche d’un extremum par la dérivée.
• Connaître la hauteur d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur du côté.
• Connaître les aires et périmètres de figures usuelles.
• Différencier valeur approchée et valeur exacte.

TICE :

Manipulation d’un logiciel de géométrie dynamique :

• Intérêt du curseur dans GeoGebra.
• Construction de polygones réguliers (nécessité de réfléchir à la définition et à la construction).
• Créer un affichage.
• Insérer un texte dans une feuille de travail.

Évaluation

En maths :

Les élèves doivent individuellement proposer une résolution afin de déterminer la valeur exacte de la solution.
Deux méthodes semblent possibles :

• Calcul de l’abscisse du sommet de la parabole représentant la fonction trinôme.
• Recherche d’un extremum à l’aide de la dérivation.

TICE :

• Les élèves ont à produire une figure permettant de donner une solution au problème et doivent enregistrer le fichier sous le commun de la classe sur le réseau du lycée.
• Les élèves doivent être capables de valider la figure produite .

Analyse a priori

• Choix du logiciel le plus adapté.

• Appropriation du problème :
  • Certains vont construire un carré et un triangle équilatéral mais sans « relation » entre eux.
  • Le fait que la longueur des côtés des deux polygones doit être rendue variable pour l’étude du problème n’est pas évident.

Aides prévues

• Y-a-t-il quelque chose de variable ? Si oui, quoi ?
  • Quelle variable choisir ?
    Construire l’une des deux figures (au choix de l’élève) en tenant compte de cette variable.
  • Quel outil de GeoGebra peut-on utiliser pour rendre variable un élément de construction ?

• Faire valider la construction par l’élève (variation du curseur et observation de l’effet sur la figure).

• Construire la deuxième figure puis validation par l’élève comme précédemment.

B2i lycée

1 - S’approprier un environnement informatique de travail

• 1.1) Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins.
• 1.2) Je sais structurer mon environnement de travail.
• 1.5) Je sais m’affranchir des fonctions automatiques des logiciels (saisie, mémorisation du mot de passe, correction orthographique, incrémentation…).
• 1.O1) Je sais utiliser une plate-forme de travail de groupe.

2 - Adopter une attitude responsable

• 2.4) Je valide, à partir de critères définis, les résultats qu’un traitement automatique me fournit (calcul, représentation graphique, correcteur...).

3 - Créer, produire, traiter, exploiter des données

• 3.1) Je sais créer et modifier un document numérique composite transportable et publiable.
• 3.6) Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat.
• 3.7) Je sais publier un document numérique sur un espace approprié.

Analyse a posteriori

• Les élèves semblent interpellés par le problème posé et s’investissent tous dans l’activité.

• Tous commencent par dessiner un carré et un triangle équilatéral avec le logiciel GeoGebra mais sans tenir compte de la contrainte du problème posé. Il n’y a pas de variabilité des longueurs et les dimensions du carré et du triangle ne sont pas "liées".

• Les difficultés attendues sur la nécessité d’introduire une variable sont bien constatées.
  Dans un groupe, c’est une élève, Ariane, qui réfléchit tout haut « mais il y a une variable dans les figures... ».
  Dans le deuxième groupe, l’aide prévue est donnée (Y-a-t-il quelque chose de variable ? Si oui, quoi ? ).

• L’introduction du curseur a été fortement incitée par le professeur : très peu d’élèves y ont pensé, bien que cet outil ait déjà été utilisé dans d’autres séances.
  Mais même avec cette aide donnée, certains élèves ont bien créé le curseur, comme on leur a demandé, mais ils ne l’ont pas utilisé pour la construction des polygones.

• Des difficultés pour construire des polygones réguliers dont la longueur d’un côté est imposée : il fallait d’abord construire l’un des côtés puis activer l’icône « polygone régulier ». D’où la nécessité d’apporter une aide à beaucoup d’élèves.

• Tous les élèves n’ont pas pu terminer la figure : les deux polygones sont bien construits avec la contrainte de l’énoncé mais il manque souvent la phase « affichage de la somme des aires » et donc la possibilité de proposer une réponse au problème.

Fichiers utiles

Le fichier au format GeoGebra :

Fil

format Fichier GeoGebra - 1.7 kio

Personne à contacter pour cette activité : Mahdia PRUVOT