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Ligne de niveau

Facile
Niveau 1ère S
Niveau Terminale S
Manipulation de l’ordinateur
En groupe
Géométrie dynamique

Présentation de l’activité

ABC est un triangle isocèle de sommet principal A et A’ est le milieu de [BC].

  1. Soit G le barycentre des points pondérés (A,2), (B,1) (C,1).
    Construire le point G sur la figure.
  2. On considère l’ensemble (E) des points M du plan tels que $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|=2\|\vec{AA’}\|$
    a) Montrer que A et A’ sont des points de (E).
    b)Déterminer l’ensemble (E) et le représenter sur la figure.
Illustration

Public / Niveau

  • Première S
  • Terminale S

Durée

Une heure en demi-classe : chaque élève dispose d’un ordinateur.

Objectifs

  • Conjecturer et rechercher un ensemble de points.
  • Déstabiliser des idées fausses sur les vecteurs.
  • Travailler sur les constructions, sommes, normes de vecteurs.

Ce qui a été fait avant

  • Barycentre d’un système de points pondérés.
  • Formule de réduction (pour l’activité en terminale S, pas en première S).

Déroulement de l’activité

Côté des élèves

  • Question 1 : application directe du cours.
  • Utilisation de GeoGebra pour :
    • construire la figure,
    • construire une somme de vecteurs puis la norme,
    • vérifier que A et A’ conviennent,
    • tester d’autres points et conjecturer.
S’il vous plaît, installer Java 1.5 (ou ultérieur) pour visualiser cette page.
  • Les élèves ont comparé les normes des vecteurs quand M varie.
  • Lors de la conjecture, certains ont pensé à un losange.
    Le fait de tester certains points leur permet de valider ou non, seul, leur conjecture.
  • D’autres ayant conjecturé le cercle l’ont tracé et ont placé M sur celui-ci.
  • Démonstration du résultat conjecturé.

Côté du professeur

  • Utilisation de GeoGebra avec un vidéo-projecteur pour appuyer la conjecture des élèves à partir de la figure.

Deux possibilités de visualiser l’ensemble :

  • Activer la trace de M quand il vérifie l’égalité demandée et conjecturer ainsi le cercle (attention toutefois à la précision, il ne faut pas aller trop vite !!).
S’il vous plaît, installer Java 1.5 (ou ultérieur) pour visualiser cette page.
  • Colorier d’une couleur les points M vérifiant $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|\geq2\|\vec{AA’}\|$ et d’une autre ceux vérifiant $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|\leq2\|\vec{AA’}\|$.
S’il vous plaît, installer Java 1.5 (ou ultérieur) pour visualiser cette page.

Apport des TICE

  • Les TICE permettent d’abord de rendre plus concrète la recherche de l’ensemble (E) puisqu’on peut tester au fur et à mesure toutes les idées et conjectures des élèves.
  • Distinction entre un vecteur et sa norme.
  • Retour sur certaines erreurs telles que « normes égales implique vecteurs égaux » ou « norme d’une somme égale somme des normes ».

Prolongements possibles

  • Au cours suivant en classe entière, un prolongement en demandant de déterminer l’ensemble (F) des points M du plan tels que $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|=\|\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}\|$
  • Visualisation des conjectures des élèves et du résultat attendu, avec un vidéo-projecteur.
Mise à jour : 31 mars 2012