Mathématiques

Équation du troisième degré avec paramètre

Niveau Terminale S ; Géométrie dynamique

dimanche, 1er avril 2012

http://maths.ac-amiens.fr/238-equation-du-troisieme-degre-avec-parametre.html

Facile

Manipulation de l’ordinateur

Travail à réaliser à la maison

Présentation de l’activité

Soit $\lambda$ un réel strictement positif.
Déterminer suivant les valeurs du paramètre $\lambda$ , le nombre de solutions dans l’intervalle [0 ; 2 $\lambda$ ], de l’équation : $x^3-3\lambda^2x+2=0$ .

Ajout du professeur : faire intervenir un support de géométrie dynamique.

Public / Niveau

Terminale S

Durée

Exercice réalisable en une heure à la maison.

Objectifs

Conjecturer suivant les valeurs de $\lambda$ le nombre de solutions de l’équation.

Ce qui a été fait avant

Étude de fonction.
Théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).

Déroulement de l’activité

Côté des élèves

Utilisation de GeoGebra :
- pour construire la courbe et un curseur pour faire varier $\lambda$ ,
- pour émettre la conjecture.

Les élèves ont souvent rendu trois courbes imprimées, chacune représentant les différents résultats obtenus à savoir :
- 0 < $\lambda$ < 1 : pas de solution,
- $\lambda$ = 1 : une solution,
- $\lambda$ > 1 deux solutions

Aucun élève n’a pensé à m’envoyer son fichier par mail ou à l’amener sur une clé. L’impression sur papier leur semblait le seul moyen de rendre quelque chose.

Démonstration du résultat conjecturé :
- Certains élèves ont dérivé également $\lambda$ .
- Peu ont fait une étude correcte.
  Beaucoup ont eu des difficultés pour élaborer la discussion. En effet utiliser $\lambda$ et $f(\lambda)$ dans le tableau de variation n’est pas “courant” surtout en début d’année.

Côté du professeur

Utilisation de GeoGebra avec un vidéo-projecteur, pour :

appuyer la conjecture des élèves à l’aide de la figure.
faire le “parallèle” avec le tableau de variation en utilisant le point M ( $\lambda$ ; $f(\lambda)$ ).
insister sur l’importance du tableau de variation dans la discussion avec le théorème de la bijection.

S’il vous plaît, installer Java 1.5 (ou ultérieur) pour visualiser cette page.

Apport des TICE

Utiliser un curseur pour faire varier $\lambda$ et ainsi pouvoir émettre la conjecture souhaitée.

Personnes à contacter pour cette activité : Guillaume MIANNAY

En visitant la page http://maths.ac-amiens.fr/238-equation-du-troisieme-degre-avec-parametre.html, vous pourrez télécharger ces documents :

Fichier GeoGebra, (Fichier GeoGebra - 1.2 kio)