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\begin{document}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Théorème}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}{Définition}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{exo}{Exercice}
\renewcommand{\proofname}{Preuve}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\DD}{\mathbb{D}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\Mod}{\pmod{2\pi}}
\newcommand{\Ang}[2]{(\overrightarrow{#1},\overrightarrow{#2}) }
\newcommand{\ii}{\vec{i}}
\newcommand{\jj}{\vec{j}}
\newcommand{\kk}{\vec{k}}
\newcommand{\uu}{\vec{u}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}}
\newcommand{\ww}{\vec{w}}
\newcommand{\qq}{\qquad}
\newcommand{\ddp}{\displaystyle}
\newcommand{\repere}{$(O,\vec{i},\vec{j})$}

\begin{center}
{\Large Une équation diophantienne}
\end{center}

$ $

On cherche à résoudre en nombres entiers l'équation :
$$x^2+4y^2=8633.$$

\section{Approche par les TICE}
\subsection{Avec le tableur}

Construire un tableau à double entrée $(x,y)$ puis évaluer la quantité
$x^2+4y^2$. 

$ $

N.B. : la recopie automatique de la formule d'une cellule à l'autre
nécessite une utilisation judicieuse du symbole \$...

$ $

\begin{center}
\includegraphics[scale=.7]{DiophanteTableur.eps}
\end{center}

$ $

Comment lire les solutions de l'équation ? On pourra penser à une {\bf Mise en
  forme conditionnelle} pour faire apparaître 8633 en rouge par
exemple. Peut-on s'assurer de les trouver toutes ?


\subsection{Avec Geogebra}

Ecrire directement dans la {\bf fenêtre de saisie} l'équation (Geogebra sait tracer les
courbes données par une équation polynomiale à deux variables de degré
deux, les ``coniques'').

$ $

Faire apparaître la {\bf grille} de Geogebra (menu {\ttfamily Affichage
$\longrightarrow$ Grille}). 

$ $

\begin{center}
\includegraphics[scale=.7]{DiophanteGeogebra.eps}
\end{center}

$ $

En quoi cette grille permet de visualiser des solutions de l'équation
? Peut-on s'assurer de les trouver toutes ?

\newpage

\section{Résolution par l'algèbre}
\begin{enumerate}
\item Montrer que si on connaît une solution $(x,y)$, on en connaît
  trois autres. En déduire que l'on peut se restreindre à choisir $x$ et $y$ naturels. 
\item Soit $(x;y)$ une solution. Montrer que ni $x$ ni $y$ ne peuvent
  être arbitrairement grands. 
\item Calculer $89\times97$ et en déduire tous les diviseurs naturels
  de 8633.
\item Montrer que 89 et 97 s'écrivent comme {\it sommes de deux carrés},
  c'est-à-dire qu'il existe des entiers $a,b,u,v$ tels que :
$$89=a^2+b^2\qquad\mbox{et}\qquad97=u^2+v^2.$$
\item Soit $a,b,u,v$ des entiers. Etablir {\it l'identité de Lagrange}
  :
$$(au+bv)^2+(bu-av)^2=(a^2+b^2)(u^2+v^2),$$
ainsi que :
$$(au-bv)^2+(bu+av)^2=(a^2+b^2)(u^2+v^2),$$

\item En déduire des solutions à l'équation de départ. L'équation
  est-elle alors résolue ? 
\end{enumerate}


\section{Prolongement}

On peut reprendre le travail ci-dessus avec l'équation
$x^2-4y^2=8633$.

$ $

La résolution directe par l'algèbre est grandement facilitée si on
remarque une identité remarquable salvatrice... 
\end{document}
