La longueur de l’escargot de Pythagore

 Présentation de l’activité

Quelle est la longueur de l’escargot de Pythagore (ligne marron ci-dessus) ?

 Public / Niveau

Troisième

 Objectifs

• Travailler les égalités et
• Déstabiliser l’erreur

 Ce qui a été fait avant

• Notion de racine carrée
• Compatibilité de la racine carrée avec la multiplication

 Déroulement de l’activité

Projection de la figure « escargot enroulé »

• Comme le nombre de carrés est variable (ici 4), on peut faire apparaître plus de carrés au début pour faire visualiser l’escargot puis en diminuer le nombre.

• La ligne brisée dont on cherche la longueur s’exprime comme une somme de nombres en écriture avec des radicaux : .

Dépliage de l’escargot

• La ligne brisée apparait comme une ligne droite, dont la longueur apparaît comme celle de la diagonale d’un grand carré :

• Lorsque l’escargot est complétement déroulé, on fait apparaître le grand carré et le quadrillage pour calculer les longueurs des côtés des carrés.

Contradiction

• Si pour l’élève la simplification de est , on aboutit à une contradiction puisque la diagonale du grand carré mesure .

• On simplifie chaque diagonale de petits carrés, on réduit la somme puis on compare et .

 Aides possibles

• Il est possible de diminuer le nombre de carrés, éventuellement jusqu’à un pour faire apparaître la décomposition en somme de carrés et l’intervention du théorème de Pythagore.

• L’affichage du quadrillage aide à calculer les longueurs des côtés des carrés.

 Apport des TICE Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement

• Figure dynamique avec curseur pour régler le nombre de carrés.