Mathématiques

Probabilité & Spaghetti

Niveau 2nde - Terminale S ; Géométrie dynamique - Tableur - Calculatrice

vendredi, 30 mars 2012

http://maths.ac-amiens.fr/230-probabilite-spaghetti.html

Relativement facile

Manipulation de l’ordinateur

En groupe

Présentation de l’activité

On considère un spaghetti de 20 cm de long que l’on casse au hasard en trois parties en donnant deux coups de cutter simultanément et aléatoirement sur le spaghetti.

En supposant l’équiprobabilité, quelle est la probabilité de pouvoir construire un triangle avec les 3 morceaux obtenus ?

illustration : Photos libres

Public / Niveau

Testé en terminale S, puisqu’il entre dans l’optique de la nouvelle épreuve expérimentale.
Adaptable dès la seconde conformément aux programmes.

Objectifs

Réaliser une simulation pour conjecturer.
Mieux comprendre le passage du discret au continu.

Durée

Une séance de 2 heures : simulation tableur + visualisation géométrique.
Un travail à rédiger.
Un retour en classe de 30 min environ.

Notions réinvesties

Inégalité triangulaire.

Ce qui a été fait avant

Première utilisation du tableur et d’un logiciel de géométrie dynamique pour créer quelque chose de A à Z.

Cette séance à servi d’introduction à la notion de probabilité.

Déroulement de l’activité

[15 min] : Présentation du problème, expérimentation avec de vrais spaghettis.
Comment trouver la probabilité, qu’est ce qu’une probabilité ?

[15 min] : Quelques tests à la main
La condition d’inégalité triangulaire (et le mot) a été difficilement obtenue.

[45 min] : Démarrage avec le tableur
- Une fois le principe compris pour remplir la longueur du premier morceau, les deux autres longueurs ont été facilement trouvées.
- L’utilisation des "SI" pour remplir les colonnes F, G et H a été bien assimilé.
- Il y a eu discussion pour remplir la colonne I : « comment obtenir 1 si et seulement si F2, G2 et H2 font 1 ? ».
  Diverses propositions ont été données : calculer le produit, la somme ou même le minimum des trois cellules.
- La moyenne a été facilement calculée.
  Pour une vingtaine de valeurs, les résultats différaient (On peut le voir en appuyant sur F9).
  Au fur et à mesure que le nombre de tirages augmentait, on peut constater que la moyenne semble converger vers 0,25.

Fichier tableur format Excel - 219.5 kio

[30 min] : Visualisation avec GeoGebra.
Cette étape a été assez rapidement effectuée, car les variables a, b et c avaient déjà été calculées dans le tableur.

S’il vous plaît, installer Java 1.5 (ou ultérieur) pour visualiser cette page.

[10 min] : Conclusion sur le graphique obtenu.
Idée de la preuve à rédiger à la maison avec l’aide de la « feuille de route ».

Évaluation

Il y aura une évaluation à 4 niveaux :

Compte rendu sur la feuille de route,
Réalisation du fichier tableur,
Réalisation de la figure,
Rédaction de la preuve.

Fichiers utiles

Le fichier d’appropriation du problème :

Fichier GeoGebra format Fichier GeoGebra - 4.9 kio

La fiche élève :

Fiche élève format PDF - 75.8 kio

Fiche élève format Word - 58 kio

La fiche professeur avec de l’aide et des remarques pédagogiques :

Fiche professeur format PDF - 80.3 kio

Fiche professeur format Word - 54.5 kio

Exemple de fichier facilement réalisable par les élèves :

Fichier tableur Exemple élève format Excel - 97.5 kio

Fichier tableur Exemple élève format OpenDocument Spreadsheet - 20.7 kio

Les programmes de simulation sur calculatrice :

Algorithme

Sur Texas Instruments
(Merci à Cyrille DOURIEZ)

Sur Casio
(Merci à Philippe DOMERGUE)

x reçoit un réel entre 0 et 20
y reçoit un réel entre 0 et 20
a reçoit min(x,y)
b reçoit abs(x-y)
c reçoit 20-x-y
Si (a>b+c) ou (b>c+a) ou (c>a+b)
alors : Afficher "Impossible"
sinon : Afficher "Possible"

: 20*Rand $\rightarrow$ X
: 20*Rand $\rightarrow$ Y
: min(X,Y) $\rightarrow$ A
: abs(Y-X) $\rightarrow$ B
: 20-A-B $\rightarrow$ C
: Disp X
: Disp Y
: If A<B+C and B<C+A and C<A+B
: Then
: Disp "Possible"
: Else
: Disp "Impossible"
: End

20RAN# $\rightarrow$ X

20RAN# $\rightarrow$ Y

X $\rightarrow$ A :
X>Y $\Rightarrow$ Y $\rightarrow$ A :

abs(X-Y) $\rightarrow$ B :
20-X-Y $\rightarrow$ C :
A>B+C $\Rightarrow$ GOTO 1 :
B>C+A $\Rightarrow$ GOTO 1 :
C>A+B $\Rightarrow$ GOTO 1 :
"OUI"

GOTO 2 :
LBL 1 : "NON"

LBL 2 :

Fichier Texas Instruments format TI - 171 octets

Le fichier géométrie dynamique pour une visualisation :

Version pour conjecturer

Version plus élaborée pour un retour en classe

Conjecture format HTML - 4.3 kio

À utiliser avec la fiche professeur

Fichier GeoGebra format Fichier GeoGebra - 3.3 kio

Une preuve du résultat

Preuve du résultat format PDF - 184.1 kio

Preuve du résultat format Word - 128.5 kio

Apport des TICE

Le tableur permet de réaliser aussi rapidement un test que 10 000.
Le logiciel de géométrie dynamique permet une réelle visualisation de l’espace solution.

Personnes à contacter pour cette activité : Vincent MAILLE

En visitant la page http://maths.ac-amiens.fr/230-probabilite-spaghetti.html, vous pourrez télécharger ces documents :

Fichier GeoGebra, (Fichier GeoGebra - 582 octets)