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Sommaire

Etude d’un agorithme

Mise à jour : 6 mars 2012
Relativement facile
Niveau Terminale S Spécialité
Utilisation d’un vidéo-projecteur
En classe entière
Calcul formel

 Présentation de l’activité

On a entré l’algorithme suivant avec Wiris.
Que fait ce programme lorsqu’un nombre n est donné ?

Vous pouvez changer les valeurs de n
et appuyer sur = ou "CRTL + Entrée" pour l’exécuter et conjecturer.

 Public / Niveau

Terminales S spécialité

 Objectifs

  • Étude d’un algorithme.
  • Travail sur les nombres premiers de la forme $6k\pm1$.

 Durée

30 min

 Prérequis

  • Connaissance des nombres premiers
  • Test de primalité
  • Travail sur les congruences

 Ce qui a été fait avant

Les élèves avaient déjà conçu des algorithmes de test de primalité classique :

  • Calcul de PGCD par algorithme d’Euclide, sur tableur,
  • Programme de calcul de modulo, sur calculatrice,
  • Test de primalité classique en testant tous les diviseurs de 2 à $\sqrt{N}$, sur tableur, calculatrice ou Wiris.

 Déroulement de l’activité

Les élèves viennent modifier au tableau les valeurs de n.
La conjecture arrive assez rapidement.

Questions que l’on peut alors se poser :

  • Quelles valeurs peut prendre le nombre $p$ ?
    • Quand $p$ prend t-il la valeur 1 ?
  • A quelle(s) condition(s) la boucle TANT QUE s’arrête-elle ?
  • Tous les diviseurs sont-ils testés ?
  • Les nombres a et b sont-il toujours premiers ?
    Tous les diviseurs premiers sont-il testés ?
    • A-t-on $p$ premier $\Rightarrow p=6k\pm1$ avec $k$ entier naturel strictement positif ?
    • A-t-on $p=6k\pm1$ avec $k$ entier naturel strictement positif $\Rightarrow p$ premier ?

On peut utiliser le tableur pour ces questions

 Fichiers utiles

Une feuille avec le sujet :

Sujet élève format PDF - 23.1 ko
Sujet élève format Word - 41.5 ko

Une page internet contenant l’algorithme Wiris :

Algorithme format HTML - 2.2 ko

 Apport des TICE Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement

  • Exécuter un algorithme.
  • Conjecturer sur la primalité des termes des suites $6n\pm1$

 Prolongements possibles

On peut se poser d’autres questions comme :

  • Que se passe-t-il si on remplace la première ligne $n=324$ par :
    • $m=1 ; n=2n-1$ et que l’on fait varier $m$ de 1 à 5 ?
    • $m=1 ; n=2^{2n}-1$ et que l’on fait varier $m$ de 1 à 20 ?
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