Mathématiques

Sommaire

Etude d’un agorithme

Niveau Terminale S Spécialité ; Calcul formel

Relativement facile

Utilisation d’un vidéo-projecteur

En classe entière

 Présentation de l’activité

On a entré l’algorithme suivant avec Wiris.
Que fait ce programme lorsqu’un nombre n est donné ?

Vous pouvez changer les valeurs de n
et appuyer sur = ou "CRTL + Entrée" pour l’exécuter et conjecturer.

 Public / Niveau

Terminales S spécialité

 Objectifs

  • Étude d’un algorithme.
  • Travail sur les nombres premiers de la forme 6k\pm1.

 Durée

30 min

 Prérequis

  • Connaissance des nombres premiers
  • Test de primalité
  • Travail sur les congruences

 Ce qui a été fait avant

Les élèves avaient déjà conçu des algorithmes de test de primalité classique :

  • Calcul de PGCD par algorithme d’Euclide, sur tableur,
  • Programme de calcul de modulo, sur calculatrice,
  • Test de primalité classique en testant tous les diviseurs de 2 à \sqrt{N}, sur tableur, calculatrice ou Wiris.

 Déroulement de l’activité

Les élèves viennent modifier au tableau les valeurs de n.
La conjecture arrive assez rapidement.

Questions que l’on peut alors se poser :

  • Quelles valeurs peut prendre le nombre p ?
    • Quand p prend t-il la valeur 1 ?
  • A quelle(s) condition(s) la boucle TANT QUE s’arrête-elle ?
  • Tous les diviseurs sont-ils testés ?
  • Les nombres a et b sont-il toujours premiers ?
    Tous les diviseurs premiers sont-il testés ?
    • A-t-on p premier \Rightarrow p=6k\pm1 avec k entier naturel strictement positif ?
    • A-t-on p=6k\pm1 avec k entier naturel strictement positif \Rightarrow p premier ?

On peut utiliser le tableur pour ces questions

 Fichiers utiles

Une feuille avec le sujet :

format PDF - 23.1 kio
format Word - 41.5 kio

Une page internet contenant l’algorithme Wiris :

format HTML - 2.2 kio

 Apport des TICE Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement

  • Exécuter un algorithme.
  • Conjecturer sur la primalité des termes des suites 6n\pm1

 Prolongements possibles

On peut se poser d’autres questions comme :

  • Que se passe-t-il si on remplace la première ligne n=324 par :
    • m=1 ; n=2n-1 et que l’on fait varier m de 1 à 5 ?
    • m=1 ; n=2^{2n}-1 et que l’on fait varier m de 1 à 20 ?
Mise à jour : 12 avril 2018