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Sommaire

{{{Présentation de l'activité}}} On a entré l’algorithme suivant avec Wiris. Que fait ce programme lorsqu'un nombre n est donné ?
{Vous pouvez changer les valeurs de n
et appuyer sur = ou "CRTL + Entrée" pour l'exécuter et conjecturer.}
{{{Public / Niveau}}} Terminales S spécialité {{{Objectifs}}} -* Étude d'un algorithme. -* Travail sur les nombres premiers de la forme $6k\pm1$. {{{Durée}}} 30 min {{{Prérequis}}} -* Connaissance des nombres premiers -* Test de primalité -* Travail sur les congruences {{{Ce qui a été fait avant}}} Les élèves avaient déjà conçu des algorithmes de test de primalité classique : -* Calcul de PGCD par algorithme d'Euclide, sur tableur, -* Programme de calcul de modulo, sur calculatrice, -* Test de primalité classique en testant tous les diviseurs de 2 à $\sqrt{N}$, sur tableur, calculatrice ou Wiris. {{{Déroulement de l'activité}}} Les élèves viennent modifier au tableau les valeurs de n.
La conjecture arrive assez rapidement. Questions que l'on peut alors se poser : -* Quelles valeurs peut prendre le nombre $p$ ? -** Quand $p$ prend t-il la valeur 1 ? -* A quelle(s) condition(s) la boucle TANT QUE s'arrête-elle ? -* Tous les diviseurs sont-ils testés ? -* Les nombres a et b sont-il toujours premiers ?
Tous les diviseurs premiers sont-il testés ? -** A-t-on $p$ premier $\Rightarrow p=6k\pm1$ avec $k$ entier naturel strictement positif ? -** A-t-on $p=6k\pm1$ avec $k$ entier naturel strictement positif $\Rightarrow p$ premier ? On peut utiliser le tableur pour ces questions {{{Fichiers utiles}}} Une feuille avec le sujet : | | | Une page internet contenant l'algorithme Wiris : {{{Apport des TICE}}} -* Exécuter un algorithme. -* Conjecturer sur la primalité des termes des suites $6n\pm1$ {{{Prolongements possibles}}} On peut se poser d'autres questions comme : -* Que se passe-t-il si on remplace la première ligne $n=324$ par : -** $m=1 ; n=2n-1$ et que l'on fait varier $m$ de 1 à 5 ? -** $m=1 ; n=2^{2n}-1$ et que l'on fait varier $m$ de 1 à 20 ?

Etude d’un agorithme

Niveau Terminale S Spécialité ; Calcul formel

Relativement facile

Utilisation d’un vidéo-projecteur

En classe entière

Présentation de l’activité

On a entré l’algorithme suivant avec Wiris.
Que fait ce programme lorsqu’un nombre n est donné ?

Vous pouvez changer les valeurs de n
et appuyer sur = ou "CRTL + Entrée" pour l’exécuter et conjecturer.

Public / Niveau

Terminales S spécialité

Objectifs

  • Étude d’un algorithme.
  • Travail sur les nombres premiers de la forme 6k\pm1.

Durée

30 min

Prérequis

  • Connaissance des nombres premiers
  • Test de primalité
  • Travail sur les congruences

Ce qui a été fait avant

Les élèves avaient déjà conçu des algorithmes de test de primalité classique :

  • Calcul de PGCD par algorithme d’Euclide, sur tableur,
  • Programme de calcul de modulo, sur calculatrice,
  • Test de primalité classique en testant tous les diviseurs de 2 à \sqrt{N}, sur tableur, calculatrice ou Wiris.

Déroulement de l’activité

Les élèves viennent modifier au tableau les valeurs de n.
La conjecture arrive assez rapidement.

Questions que l’on peut alors se poser :

  • Quelles valeurs peut prendre le nombre p ?
    • Quand p prend t-il la valeur 1 ?
  • A quelle(s) condition(s) la boucle TANT QUE s’arrête-elle ?
  • Tous les diviseurs sont-ils testés ?
  • Les nombres a et b sont-il toujours premiers ?
    Tous les diviseurs premiers sont-il testés ?
    • A-t-on p premier \Rightarrow p=6k\pm1 avec k entier naturel strictement positif ?
    • A-t-on p=6k\pm1 avec k entier naturel strictement positif \Rightarrow p premier ?

On peut utiliser le tableur pour ces questions

Fichiers utiles

Une feuille avec le sujet :

Sujet élève format PDF - 23.1 ko
Sujet élève format Word - 41.5 ko

Une page internet contenant l’algorithme Wiris :

Algorithme format HTML - 2.2 ko

Apport des TICE

  • Exécuter un algorithme.
  • Conjecturer sur la primalité des termes des suites 6n\pm1

Prolongements possibles

On peut se poser d’autres questions comme :

  • Que se passe-t-il si on remplace la première ligne n=324 par :
    • m=1 ; n=2n-1 et que l’on fait varier m de 1 à 5 ?
    • m=1 ; n=2^{2n}-1 et que l’on fait varier m de 1 à 20 ?
Mise à jour : 12 avril 2018