Visuel du bouquet de services académiques

Mathématiques

Vous êtes ici : Accueil > TICE > Ressources académiques >

La longueur de l’escargot de Pythagore

Relativement facile
Niveau 3e
Niveau 2nde
Utilisation d’un vidéo-projecteur
En groupe
Géométrie dynamique

Présentation de l’activité

Escargot de Pythagore

Quelle est la longueur de l’escargot de Pythagore (ligne marron ci-dessus) ?

Public / Niveau

Troisième

Objectifs

  • Travailler les égalités $\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$ et $a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$
  • Déstabiliser l’erreur $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$

Ce qui a été fait avant

  • Notion de racine carrée
  • Compatibilité de la racine carrée avec la multiplication

Déroulement de l’activité

Projection de la figure « escargot enroulé »
  • Comme le nombre de carrés est variable (ici 4), on peut faire apparaître plus de carrés au début pour faire visualiser l’escargot puis en diminuer le nombre.
  • La ligne brisée dont on cherche la longueur s’exprime comme une somme de nombres en écriture avec des radicaux : $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{32}$.
Dépliage de l’escargot
  • La ligne brisée apparait comme une ligne droite, dont la longueur apparaît comme celle de la diagonale d’un grand carré : $\sqrt{200}$
Escargot de Pythagore déplié
  • Lorsque l’escargot est complétement déroulé, on fait apparaître le grand carré et le quadrillage pour calculer les longueurs des côtés des carrés.
Escargot de Pythagore déplié avec le grand carré
Escargot de Pythagore déplié avec le grand carré et le quadrillage
Contradiction
  • Si pour l’élève la simplification de $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{32}$ est $\sqrt{60}$, on aboutit à une contradiction puisque la diagonale du grand carré mesure $\sqrt{200}$.
  • On simplifie chaque diagonale de petits carrés, on réduit la somme puis on compare $10\sqrt{2}$ et $\sqrt{200}$.

Aides possibles

  • Il est possible de diminuer le nombre de carrés, éventuellement jusqu’à un pour faire apparaître la décomposition en somme de carrés et l’intervention du théorème de Pythagore.
  • L’affichage du quadrillage aide à calculer les longueurs des côtés des carrés.

Apport des TICE

  • Figure dynamique avec curseur pour régler le nombre de carrés.
Mise à jour : 6 mars 2012