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Aire sous l’hyperbole

Facile
Niveau Terminale S
Manipulation de l’ordinateur
Géométrie dynamique

Présentation de l’activité

Exercice provenant d’un énoncé 2006 d’épreuve pratique

Dans un repère $(O ; \vec{i} , \vec{j})$, on considère l’hyperbole (C) représentant la fonction inverse sur $\mathbb{R^*}$. A tout point A de la courbe (C), on associe les points B et C, intersections des axes du repère avec la tangente à la courbe (C) en A.

Où placer le point A pour que l’aire du triangle OBC soit maximale ?

Public / Niveau

Terminale S

Séances préalables

  • Pour présenter le logiciel, que très peu d’élèves connaissaient (Ici GeoGebra), nous avons fait l’exercice du scénario « Optimisation » sur feuille.
Énoncé
  • J’ai alors fait la construction au vidéo-projecteur.
    Cela a permis :
    • de montrer le principe des boutons,
    • de montrer le principe de la fenêtre algèbre pour lire les mesures et les aires,
    • de montrer la barre de saisie pour tracer une fonction, de dériver.
  • Côté mathématique : rien en cours n’a été fait depuis la première (2ème semaine de rentrée).

Objectifs de la séance TICE

  • Côté TICE :
    • Conjecturer que l’aire est constante.
    • Vérifier les calculs en positionnant A à des endroits particuliers.
  • Côté mathématique :
    • Mobiliser la formule de l’équation de la tangente à une courbe.
    • Calcul de dérivée.
    • Traduire qu’un point appartient à une droite (étonnamment pas si évident...)

Déroulement

  • Même pour des élèves peu habitués à ce logiciel, la prise en main est rapide et la construction a été assez rapidement réalisée (5 à 20 minutes).
  • La première réaction pour la conjecture est « ça ne marche pas » puisque l’aire est constante à 2.
    Après réflexion, il semble possible que ce soit la conclusion.
  • Tous les élèves trouvent le même chemin de preuve :
    • Trouver l’équation de la tangente.
    • Calculer les coordonnées des points B et C.
    • Calculer les distances OB et OC.
  • La figure dynamique est utilisée pour conforter ou invalider les formules obtenues (exemple oubli des valeurs absolues pour OB et OC).

Prolongements

L’académie de Nantes propose un prolongement avec d’autres fonctions.

Mise à jour : 26 février 2012