Aire sous l’hyperbole

 Présentation de l’activité

Exercice provenant d’un énoncé 2006 d’épreuve pratique

Dans un repère (O ; i , j), on considère l’hyperbole (C) représentant la fonction inverse sur R. A tout point A de la courbe (C), on associe les points B et C, intersections des axes du repère avec la tangente à la courbe (C) en A.

Où placer le point A pour que l’aire du triangle OBC soit maximale ?

 Public / Niveau

Terminale S

 Séances préalables

• Pour présenter le logiciel, que très peu d’élèves connaissaient (Ici GeoGebra), nous avons fait l’exercice du scénario « Optimisation » sur feuille.

• J’ai alors fait la construction au vidéo-projecteur.
  Cela a permis :
  • de montrer le principe des boutons,
  • de montrer le principe de la fenêtre algèbre pour lire les mesures et les aires,
  • de montrer la barre de saisie pour tracer une fonction, de dériver.

• Côté mathématique : rien en cours n’a été fait depuis la première (2ème semaine de rentrée).

 Objectifs de la séance TICE Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement

• Côté TICE :
  • Conjecturer que l’aire est constante.
  • Vérifier les calculs en positionnant A à des endroits particuliers.

• Côté mathématique :
  • Mobiliser la formule de l’équation de la tangente à une courbe.
  • Calcul de dérivée.
  • Traduire qu’un point appartient à une droite (étonnamment pas si évident...)

 Déroulement

• Même pour des élèves peu habitués à ce logiciel, la prise en main est rapide et la construction a été assez rapidement réalisée (5 à 20 minutes).

• La première réaction pour la conjecture est « ça ne marche pas » puisque l’aire est constante à 2.
  Après réflexion, il semble possible que ce soit la conclusion.

• Tous les élèves trouvent le même chemin de preuve :
  • Trouver l’équation de la tangente.
  • Calculer les coordonnées des points B et C.
  • Calculer les distances OB et OC.

• La figure dynamique est utilisée pour conforter ou invalider les formules obtenues (exemple oubli des valeurs absolues pour OB et OC).

 Prolongements

L’académie de Nantes propose un prolongement avec d’autres fonctions.