Le magicien

 Présentation de l’activité

Le magicien : « Penser à un nombre, multiplier par 2, enlever 3, multiplier le résultat par 3 et enlever le nombre de départ. Quel est le nombre que vous obtenez ? »
Un spectateur : « 31 »
Le magicien : « Le nombre pensé au départ est ... »
Un spectateur : « C’est exact »

Qu’a répondu le magicien ?

 Public / Niveau

Classe de cinquième ou de quatrième

 Objectifs

• Entrer dans le calcul littéral.
• Utiliser les fonctions de calcul algébrique d’un tableur.

 Ce qui a été fait avant

Les élèves ont pu se familiariser avec le tableur au cours de deux séances sur les nombres relatifs :

• Ils avaient d’abord à compléter sur le cahier des suites de nombres relatifs dont les trois premiers étaient donnés (exemple : -7 ; -4 ; -1 ; ... ; ... ; ...).
  La vérification de l’exactitude de la suite jusqu’au dixième terme s’est faite à l’aide du tableur.
• Dans une autre séquence sur le cahier, ils avaient à substituer des nombres relatifs dans diverses expressions (exemple : a – b + c ou 2a – bc) et à vérifier leur travail en écrivant des formules dans le tableur et en incrémentant pour différentes valeurs des variables.

 Déroulement de l’activité

• L’enseignant présente le problème.
  Il s’agit de comprendre le programme de calcul proposé par le magicien pour découvrir l’astuce utilisée.

• Après un essai à l’oral, chaque élève effectue sur le cahier la séquence de calcul imposée pour 1, 2, 10, 20 puis propose des essais libres et répond sur un ou deux exemples.

• En utilisant le tableur, les élèves ont repris les calculs déjà effectués sur papier puis pour plusieurs autres valeurs en laissant apparaître les étapes.
  Certains élèves ont trouvé rapidement et l’enseignant propose au tableau de nouvelles valeurs cibles 86 ; 171 ; 246 ; 1091.

• Pour les binômes ayant construit l’enchainement de calcul et donc pouvant répondre très rapidement aux questions, l’enseignant demande de chercher une formule unique évitant tous les pas de calcul.
  Pour ceux ayant abouti, l’enseignant demande de trouver une formule plus simple si c’est possible.

• Le groupe qui trouve la forme réduite s’appuie sur l’observation des nombres. Ces nombres “vont de cinq en cinq”, ils écrivent donc la table des cinq puis ils constatent “un décalage de neuf” et décident donc d’ajouter neuf puis finalement de retrancher neuf pour aboutir aux résultats souhaité (ce moment n’est pas filmé).

• La suite sera collective, en mettant en commun les formules trouvées on observera que ces trois formes semblent donner le même résultat. Mais la forme réduite, qui a été trouvée par un binôme, est identifiée par tous comme la plus simple à “retourner”.

• La formule du magicien permettant de retrouver le nombre de départ sera trouvée sans difficulté et on utilisera la formule du magicien pour trouver les nombres de départ quand les nombres trouvés sont : 86 ; 171 ; 246 ; 1091 ; 456...

 Vidéo

Consultez la vidéo en ligne sur Éduscol Numérique.

 Ce qui a été fait après

• Pour la séance suivante, l’enseignant s’est attaché à donner les conventions d’écriture du calcul littéral et à fixer les règles de réduction et de suppression des parenthèses.
  Les élèves ont alors pu établir de manière rigoureuse l’équivalence des formules découvertes à l’aide du tableur.

• L’entrée dans le calcul littéral s’est prolongée en proposant des séries de calculs du type suivant :
  • 5 × 2,58 + 6 – 9 × 2,58 + 14 – 7 × 2,58 – 6 – 7 + 6 × 2,58 + 5 + 5 × 2,58
  • 5 × 18,62 + 6 – 9 × 18,62 + 14 – 7 × 18,62 – 6 – 7 + 6 × 18,62 + 5 + 5 × 18,62
  • 5 × 109 + 6 – 9 × 109 + 14 – 7 × 109 – 6 – 7 + 6 × 109 + 5 + 5 × 109
  • 5 × 0,578 + 6 – 9 × 0,578 + 14 – 7 × 0,578 – 6 – 7 + 6 × 0,578 + 5 + 5 × 0,578