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Équation du troisième degré avec paramètre

Facile
Niveau Terminale S
Manipulation de l’ordinateur
Travail à réaliser à la maison
Géométrie dynamique

 Présentation de l’activité

Soit $\lambda$ un réel strictement positif.
Déterminer suivant les valeurs du paramètre $\lambda$, le nombre de solutions dans l’intervalle [0 ; 2$\lambda$], de l’équation : $x^3-3\lambda^2x+2=0$.

Ajout du professeur : faire intervenir un support de géométrie dynamique.

Illustration

 Public / Niveau

Terminale S

 Durée

Exercice réalisable en une heure à la maison.

 Objectifs

Conjecturer suivant les valeurs de $\lambda$ le nombre de solutions de l’équation.

 Ce qui a été fait avant

  • Étude de fonction.
  • Théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).

 Déroulement de l’activité

Côté des élèves

  • Utilisation de GeoGebra :
    • pour construire la courbe et un curseur pour faire varier $\lambda$,
    • pour émettre la conjecture.
  • Les élèves ont souvent rendu trois courbes imprimées, chacune représentant les différents résultats obtenus à savoir :
    • 0 < $\lambda$ < 1 : pas de solution,
    • $\lambda$ = 1 : une solution,
    • $\lambda$ > 1 deux solutions
  • Aucun élève n’a pensé à m’envoyer son fichier par mail ou à l’amener sur une clé. L’impression sur papier leur semblait le seul moyen de rendre quelque chose.
  • Démonstration du résultat conjecturé :
    • Certains élèves ont dérivé également $\lambda$.
    • Peu ont fait une étude correcte.
      Beaucoup ont eu des difficultés pour élaborer la discussion. En effet utiliser $\lambda$ et $f(\lambda)$ dans le tableau de variation n’est pas “courant” surtout en début d’année.

Côté du professeur

Utilisation de GeoGebra avec un vidéo-projecteur, pour :

  • appuyer la conjecture des élèves à l’aide de la figure.
  • faire le “parallèle” avec le tableau de variation en utilisant le point M ($\lambda$ ; $f(\lambda)$).
  • insister sur l’importance du tableau de variation dans la discussion avec le théorème de la bijection.
S’il vous plaît, installer Java 1.5 (ou ultérieur) pour visualiser cette page.

 Apport des TICE Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement

Utiliser un curseur pour faire varier $\lambda$ et ainsi pouvoir émettre la conjecture souhaitée.

Mise à jour : 31 mars 2012