Mathématiques

Sommaire

Le carré dans le triangle

Niveau 4e - 3e - 2nde - 1ère - Terminale ; Géométrie dynamique - Tableur - Calcul formel

Facile

Utilisation d’un vidéo-projecteur

En classe entière

 Présentation de l’activité

Quelles sont les dimensions (exactes) du carré inscrit dans ce triangle dont les dimensions sont données ci-contre ?

Dimensions du triangle

 Public / Niveau

Testé en seconde

 Durée

Travail maison + Une séance d’une heure

 Objectifs

  • Chercher un problème de mathématiques
  • Travail sur les fonctions affines

 Déroulement de l’activité

Le problème s’est déroulé en plusieurs phases :

  • Le problème est donné en exercice (sur le cahier) la veille.
    Quelques idées :
    • Des tracés du triangle, mais difficile de faire le carré.
    • 2 élèves ont utilisé GeoGebra et ont imprimé la feuille.
    • On a donc des propositions de valeurs, approchées (6,46 en zoomant).
  • Le professeur construit à partir d’une feuille blanche la figure au TBI Tableau blanc interactif .
    • On construit la figure par « libération de contrainte », c’est à dire que l’on place un point sur le segment de 14 et que l’on construit à partir de là, un rectangle, que l’on va déformer pour qu’il devienne le plus proche possible d’un carré.
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Question : Peut-on trouver une formule donnant la longueur du rectangle en fonction de sa largeur ?

Idée : Tracer la courbe de j en fonction de i sur la figure

  • A l’aide du GéoTableur, on capture des valeurs de i et j, et on les exporte dans un tableur.
    • On trace alors depuis le tableur un nuage de points, ils semblent alignés.
    • On peut alors tracer la courbe de tendance, et même obtenir son équation.
    • L’équation ne “tombe pas juste”, en étudiant les « conditions aux bords », on trouve alors que l’on a f(0)=14 et f(12)=0.
    • On arrive alors à l’expression f(x)=-7x/6+14 et il restera à résoudre f(x)=x.
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  • Le point sur le problème : que reste-il à démontrer (par ordre de difficulté) ?
    • Q3 : Résoudre f(x)=x.
    • Q1 : Montrer que la hauteur du triangle mesure 12.
    • Q2 : Prouver que la fonction est bien affine et que son expression est f(x)=-7x/6+14.
      Les élèves travaillent par groupes de 2 ou 3 formés par le professeur.
      Certains groupes ne font que la question 3, d’autres la 1 aussi (la hauteur ayant été tracée, cela simplifie l’exercice). Avec de l’aide certains arrivent aussi à prouver la question 2.
      À la fin de l’heure, les élèves rendent une copie par groupe.
  • Le cours suivant :
    • Retour sur les copies qui ont été sélectionnées et scannées.
    • Les élèves expliquent leurs démarches.

 Apport des TICE Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement

  • L’aide de l’outil permet de passer des difficultés techniques.
  • En utilisant intelligemment l’outil, et avec quelques raisonnements simples, on arrive à la réponse exacte de \frac{84}{13} qui peut sembler inaccessible dans un premier temps.

 D’autres pistes

Avec les points définis ci-dessus, on note h=AH, m=BH et n=CH.

  • Calcul de h :
    En appliquant le théorème de Pythagore aux triangles ABH et ACH, on a :h²=169-m² et h²=225-n², d’où 56=n²-m²=(n-m)(n+m)=14(n-m) donc n-m=4 et n+m=14 et n=9 et h=12.
  • Calcul de la longueur du côté :
    Comme les triangles ABC et AB’C’ sont semblables, on a \frac{BC}{B’C’}=\frac{AH}{AH’}, ce qui donne en notant c, le côté du carré : \frac{14}{c}=\frac{12}{12 - c}, d’où c=\frac{84}{13}.
  • D’autres idées extraites de copies d’élèves de terminale S, sans TICE : Al Kashi, des équations surprenantes mais correctes.
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  • Remarque :avec ces notations, on a la relation \frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{h}, formule qui reste d’ailleurs valable dans le cas général.
Mise à jour : 12 avril 2018