Alice et Bertrand

 Présentation de l’activité

Deux élèves, Alice et Bertrand, ont chacun une calculatrice. Ils affichent le même nombre sur leur calculatrice.
Alice multiplie le nombre affiché par 2,1 puis retranche 0,4 au résultat obtenu.
Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 1,3 puis ajoute 0,1 au résultat obtenu.
Quand ils ont terminé, ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le même résultat.

Quel nombre ont-ils affiché au départ ?

Ce problème est extrait de l’ouvrage de Gérard COMBIER, Jean-Claude GUILLAUME et André PRESSIAT « Les débuts de l’algèbre au collège : Au pied de la lettre ! » aux éditions « INRP didactiques des disciplines ».

 Public / Niveau

Quatrième

 Ce qui a été fait avant

• Deux séquences sur le calcul littéral avaient été faites avant « Alice et Bertrand ».
  Lors de ces séquences, ont été travaillées les compétences suivantes : réduire une expression, simple distributivité, utilisation du calcul littéral pour prouver, calculs d’aires, résolution de problèmes menant à des équations du type ax+b=c.

• J’avais montré le logiciel en classe lors d’une séance précédente sur le calcul littéral.

 Objectifs

• Faire percevoir les limites des procédures numériques de résolution pour établir l’utilité et la pertinence de la mise en équation pour résoudre un problème.
• Mettre en évidence les règles d’écriture d’une équation (se limiter à une inconnue, choix de l’inconnue, signe d’égalité).
• Susciter le besoin de l’apprentissage de techniques de résolution d’équation.

 Déroulement de l’activité

• L’énoncé 1 :
  « Deux élèves, Alice et Bertrand, ont chacun une calculatrice. Ils affichent le même nombre sur leur calculatrice.
  Alice multiplie le nombre affiché par 2,1 puis retranche 0,4 au résultat obtenu.
  Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 1,3 puis ajoute 0,1 au résultat obtenu.
  Quand ils ont terminé, ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le même résultat.
  Quel nombre ont-ils affiché au départ ? »

• Consigne donnée :
  Les élèves doivent noter la trace de leur recherche (les différents essais) sur leur cahier.

• L’énoncé 2 :
  « Deux élèves, Alice et Bertrand, ont chacun une calculatrice. Ils affichent le même nombre sur leur calculatrice.
  Alice multiplie le nombre affiché par 2,1 puis retranche 0,4 au résultat obtenu.
  Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 1,3 puis ajoute 0,1 au résultat obtenu.
  Quand ils ont terminé, ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le même résultat.
  Écris une équation à partir de laquelle la machine puisse te donner le nombre qu’ils ont affiché au départ. »

• Consigne donnée :
  Dans la deuxième phase, le contrat change : la trace de recherche n’est plus la suite des essais numériques effectués mais la liste des équations proposées au logiciel de calcul formel et la réponse renvoyée par le logiciel.

« Alice et Bertrand » est la première séquence de la progression sur les équations (début mars). Les équations du type avaient été travaillées en devoir à la maison.

La deuxième séquence sur les équations (technique de résolution) a lieu plus tard (début mai).

 Vidéo

Consultez la vidéo en ligne sur Éduscol Numérique.

 Ce qui a été fait après

Cette séance est conduite collectivement : le travail s’effectue à partir des expressions proposées par les élèves et les réponses fournies par le solveur.

• Premier temps : analyse des réponses fournies par l’ordinateur.
  • Une lettre affectée d’une valeur.
  • Deux lettres affectées chacune d’une valeur.
  • Une lettre exprimée en fonction d’une autre.
  • Un message d’erreur.

• Deuxième temps : mise en relation entre les types de réponses produites et les formes d’expressions écrites.
  • Les expressions qui ne permettent pas d’obtenir de réponse.
    La discussion permet de dégager la nécessité, pour obtenir une réponse, d’écrire une égalité et d’utiliser des lettres pour désigner les nombres inconnus.
  • Les équations pour lesquelles la réponse est donnée sous la forme d’une lettre affectée d’une valeur numérique.
    Les échanges font ressortir la nécessité d’avoir une seule égalité et d’utiliser une seule lettre.
  • Les équations pour lesquelles la réponse est constituée de deux lettres affectées chacune d’une valeur numérique.
    Le fait d’introduire deux “lettres” et une seule égalité ne permet pas d’obtenir des valeurs numériques mais seulement une “lettre” en fonction de l’autre.
    Il est nécessaire d’avoir deux égalités (écriture d’un système : deux égalités distinctes).

• Troisième temps : on revient au problème posé.
  Quelle réponse numérique donne la réponse à la question posée ?
  • Lorsque le solveur donne deux réponses, une seule répond au problème (le nombre écrit au départ par « Alice et Bertrand »)
  • Le solveur résout n’importe quelle équation correctement écrite. La solution donnée par le solveur ne répond pas au problème si l’équation ne traduit pas correctement le problème.

• Quatrième temps : étude des équations qui conduisent à la solution du problème.
  Les principaux points abordés concernent :
  • La signification des lettres, selon l’emploi de une ou deux lettres : n’importe quelle lettre convient.
  • La manière dont l’énoncé est pris en compte.
    Signification de chaque membre de l’équation, dans le cas où deux équations sont utilisées. On peut revenir à une seule équation.

 Apport des TICE Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement

• Passer le point de rupture de la résolution de l’équation qui n’a pas encore été vu.
• Séparer dans l’apprentissage la mise en équation de sa résolution.