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Sommaire

Une introduction au calcul intégral

Niveau Terminale S ; Géométrie dynamique - Tableur - Calcul formel

Facile

Utilisation d’un vidéo-projecteur

En classe entière

Présentation de l’activité

Calcul de la valeur exacte de l’aire comprise entre la courbe de la fonction exponentielle et l’axe des abscisses, entre 0 et 1.

Public / Niveau

Terminale S ou Terminale ES

Prérequis

Étude des suites géométriques (en particulier, le calcul de la somme de termes consécutifs).
Connaissance de la fonction exponentielle (définition et limites).

Déroulement de l’activité

On utilise la méthode des rectangles pour d’abord encadrer l’aire du domaine choisi.
Éventuellement, on utilise un tableur :
- D’une part, la coïncidence avec les résultats de GeoGebra par exemple avec n=10, permet de confirmer la programmation du tableur,
- D’autre part, la recherche d’un encadrement plus fin peut suggérer l’idée de passage à la limite.
L’aire exacte peut être calculée comme limite de la somme des termes d’une suite géométrique de raison $e^\frac{1}{n}$ .
Le résultat des calculs peut être confirmé sur Xcas en ligne (calcul d’une somme infinie, intégrale d’une fonction).
On peut alors donner définir l’intégrale d’une fonction positive sur un intervalle, ainsi que celle des suites adjacentes.

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Fichiers utiles

Le fichier tableur :

Fichier tableur format Excel - 14.5 kio

Le diaporama de la séance :

Diaporama format PDF - 236.8 kio

Utilisation de Xcas en ligne

Étape	Instruction à entrer dans la console	Expression mathématique	Valeur retournée par Xcas
1	sum((exp(1))^(k/n),k,1,2)	Calculer $\sum_{k=1}^{2} e^\frac{k}{n}$	$\textcolor{red}{e^\frac{1}{n}+e^\frac{2}{n}}$
2	sum((exp(1))^(k/n),k,0,n-1)	Calculer $\sum_{k=0}^{n-1} e^\frac{k}{n}$	$\textcolor{red}{\frac{e^1}{e^\frac{1}{n}-1} - {\frac{1}{e^\frac{1}{n}-1}$
3	normal(sum((exp(1))^(k/n),k,0,n-1))	Simplifier $\sum_{k=0}^{n-1} e^\frac{k}{n}$	$\textcolor{red}{\frac{e^1 - 1}{e^\frac{1}{n}-1}}$
4	limit(normal(sum((exp(1))^(k/n),k,0,n-1)),n=(+(infinity)))	Calculer $\lim_{n \to +\infty}\frac{e^1 - 1}{e^\frac{1}{n}-1}$	$\textcolor{red}{+\infty}$
5	limit(1/n*normal(sum((exp(1))^(k/n),k,0,n-1)),n=(+(infinity)))	Calculer $\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\times \frac{e^1 - 1}{e^\frac{1}{n}-1}$	e¹ - 1
6	integrate(exp(x),x,0,1)	Calculer $\displaystyle{\int_{0}^{1}}{e^x} \textrm{d}x$	e¹ - 1

Fichier de restauration (module console) de Xcas en ligne :

Console de Xcas en ligne format Texte - 1.2 kio

Apport des TICE Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement

La figure dynamique permet de rendre visible l’encadrement par des sommes d’aires de rectangles, de suggérer le passage à la limite.
Le $dx$ de l’intégrale prend un sens : c’est la largeur commune de tous les rectangles le long de l’axe des $x$ .
Les suites adjacentes s’introduisent tout à fait naturellement, et le dynamisme de la figure permet aux élèves de retenir plus facilement les critères.
Le recours au tableur peut renforcer l’idée de passage à la limite.
L’utilisation du calcul formel en ligne pour la sommation des aires peut guider les élèves vers la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique, et fournir ensuite un moyen de vérification des calculs faits à la main.
Il peut resservir pour vérifier un travail personnel lors d’un prolongement.

Prolongements possibles

Dès que le raisonnement par récurrence a été étudié pour calculer la somme des carrés de 1 à n, on peut demander aux élèves de calculer l’aire sous une parabole.

Mise à jour : 12 avril 2018