Tangente à un cercle

 Présentation de l’activité

Au travers de différentes constructions simples, l’élève s’approprie la notion et les propriétés d’une droite tangente à un cercle.

 Public / Niveau

Quatrième

 Objectifs

Définition, propriétés et construction d’une droite tangente à un cercle.

 Durée

• Une séance d’environ 20 minutes en classe pour l’activité préliminaire (travail sur distance d’un point à une droite).
• Une séance d’une heure en salle informatique puis retour en classe pour le bilan de cours sur la tangente.

 Notions réinvesties

• Distance d’un point à une droite.
• Caractérisation des points d’un cercle.

 Ce qui a été fait avant

Activité préliminaire :
En classe, sur cahier avec instruments de géométrie.

• Activité 1 : Tracer une droite (Δ) puis un point à 2,8 cm de (Δ), puis un autre et encore un autre puis tracer TOUS les points à 2,8 cm de (Δ).

Objectif : les points à 2,8 cm de (Δ) sont sur deux droites parallèles à (Δ).

• Activité 2 : Placer un point O puis un point à 2,8 cm de O, puis un autre et encore un autre puis tracer TOUS les points à 2,8 cm de O.

Objectif : réactivation de la propriété du cercle.

• Activité 3 :
  1°) Tracer une droite (d) puis un point O à 4 cm de la droite (d).
  2°) Placer 3 points situés à 4 cm du point O.
  3°) Placer tous les points situés à 4 cm du point O.

Objectif : une première image mentale et une définition “naïve” de la tangente à un cercle.

Le professeur peut montrer une tangente à un cercle avec un logiciel de géométrie dynamique pour donner l’image mentale et extraire la propriété.
Il peut prouver à l’aide du théorème de Pythagore qu’il n’y a qu’un point de contact entre la droite et le cercle.

 Déroulement de l’activité

Séance TICE Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement  :
Une heure, en salle informatique, un ou deux élèves par poste (les élèves ont déjà vu plusieurs fois le logiciel GeoGebra en utilisation collective).

On distribue les énoncés des exercices suivants au fur et à mesure.

• Exercice 0
  • Données de départ : Un cercle.
  • Consigne : Tracer une droite tangente au cercle.

Objectif : propriété de la tangente et définition plus précise.

Dans un premier temps, les élèves utilisent la fonction « Tangente » de GeoGebra. On laisse faire. Cela permet aux élèves de se créer une image mentale de la tangente à un cercle et d’extraire la propriété de la tangente pour pouvoir la construire ensuite.

Dans un 2ème temps, on demande aux élèves de construire la tangente sans l’outil « Tangente » du logiciel.

• Exercice 1 (facile)
  • Données de départ : Une droite (D).
  • Consigne : Tracer un cercle tangent à la droite (D).

• Exercice 2 (assez facile)
  • Données de départ : Deux droites parallèles (D) et (D’).
  • Consigne : Tracer un cercle tangent aux droites (D) et (D’).

• Exercice 3 (assez difficile)
  • Données de départ : Une droite (D) et un point A n’appartenant pas à (D).
  • Consigne : Tracer un cercle tangent à la droite (D) passant par le point A.

• Exercice 4 (très difficile)
  • Données de départ : Deux cercles () et ().
  • Consigne : Tracer une droite tangente aux cercles () et ().

Après la séquence sur la tangente, une autre séance de géométrie dynamique aura lieu pour faire découvrir et construire le cercle inscrit à un triangle.

 Apport des TICE

• L’utilisation de la macro « Tangente à un cercle » permet à l’élève de comprendre la notion de tangente et d’en avoir une image mentale.
  Elle permet à tout élève de démarrer le travail.
• L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique permet de comprendre et d’intégrer les contraintes de la tangente à un cercle, sa définition et sa propriété.
• Le travail en géométrie dynamique fournit une méthode de construction de la tangente transposable au “papier-crayon”.

 Prolongements possibles

• Exercice 5
  • Données de départ : Un cercle (C) et un point A n’appartenant pas à (C).
  • Consigne : Tracer une droite tangente au cercle (C) passant par le point A.

Nécessite « triangle rectangle et cercle circonscrit (réciproque) ».

• Exercice 6
  • Données de départ : Tracer deux droites sécantes (D) et (D’).
  • Consigne : Tracer un cercle tangent aux droites (D) et (D’).

Nécessite « bissectrice et équidistance »