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Facile
Niveau 4e
Niveau 3e
Utilisation d’un vidéo-projecteur
Manipulation de l’ordinateur
En classe entière
En groupe
Géométrie dynamique

Présentation de l’activité

Narration de recherche :
Dans un triangle quelconque ABC, M est le milieu de [AB], N est le milieu de [MC], P est le milieu de [AN].
La droite (BP) coupe [AC] en I et la droite (BN) coupe [AC] en J.

Les segments [AI] et [IJ] peuvent-ils avoir la même longueur ?

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Cet exercice est tiré du manuel Sesamath 3e, un travail de narration de recherche visible sur la page de garde du chapitre « G1 - Théorème de Thalès ».

Page de garde du chapitre G1

Public / Niveau

Classe de troisième voire de quatrième en travaillant sur les droites des milieux.

Objectifs

  • Travail d’écriture.
  • Mise en place de stratégie pour répondre à une question en utilisant plusieurs support (papier ; dynamique, ...).

Ce qui a été fait avant

  • Il peut s’agir d’une activité d’introduction. Il n’est pas essentiel d’avoir eu à préparer la séance.
  • Une idée de démonstration par l’absurde peut être utile.

Déroulement de l’activité

Étape 1 : Mise en place d’un devoir maison

  • On propose aux élèves de réfléchir quelques minutes (en fin de cours) sur un devoir maison proposant cet énoncé :

Dans un triangle quelconque ABC, M est le milieu de [AB], N est le milieu de [MC], P est le milieu de [AN]. La droite (BP) coupe [AC] en I et la droite (BN) coupe [AC] en J.
Les segments [AI] et [IJ] peuvent-ils avoir la même longueur ?

  • L’idée est de mettre en place des stratégies.
    Par exemple :
    • Si des segments peuvent avoir une même longueur, il s’agit peut-être d’un triangle ABC particulier. Testons !
    • Comme le triangle est quelconque, pourquoi ne pas le dessiner avec un logiciel de géométrie dynamique et regarder ce qui se passe ?
    • Si je n’arrive à rien, que dois-je rendre au professeur ?

Étape 2 : Devoir maison

  • Le sujet est donné et une dizaine de jour est accordé pour le rendre.
    Ici, on rajoute quelques pistes, par exemple la possibilité de faire le point dans la semaine pour voir où en sont les élèves.

Étape 3 : Retour des stratégies

On expose les différentes stratégies misent en œuvre par les élèves.

  • L’essai erreur
    L’idée est de tester différentes figures et de conjecturer en l’impossibilité d’aboutir à avoir les mêmes longueurs.
    Deux exemples papiers :
Un triangle quelconque Un triangle rectangle
Exemple avec un triangle quelconque
Exemple avec un triangle rectangle
  • L’essai dynamique
    L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique permet de faire un nombre considérable d’essais et de conjecturer rapidement en l’impossibilité d’avoir une égalité des longueurs.
    Exemple de figure :
Fichier GeoGebra format Fichier GeoGebra - 1.3 ko
  • Une idée de démonstration par l’absurde
    On pourrait supposer qu’une telle figure existe et poser un croquis correspondant à l’énoncé puis travailler dans le triangle ANJ en utilisant les propriétés des droites des milieux.
Démonstration par l’absurde

Évaluation

Il s’agit d’un devoir maison pouvant être numérique ou papier.
La notation d’un tel exercice prend en compte : le travail fourni, le cheminement de l’élève, le soin apporté à sa rédaction ainsi que l’originalité de la démarche. Le tout sur 5 ou 10 points pas plus !

Fichiers utiles

Un exemple de devoir maison réalisé par les élèves :

Exemple de devoir maison format PDF - 1.2 Mo

Apport des TICE

  • Mise en place d’un raisonnement.
  • Rechercher de pistes, si l’on est perdu.
  • Offre la possibilité d’obtenir une conclusion hors cadre (ou programme).
Mise à jour : 21 mars 2012