La boite

 Énoncé

Distribution d’une feuille blanche A 4 avec comme consigne :

« Fabriquer une boîte ayant la forme d’un pavé sans couvercle »

Ensuite la problématique est présentée aux élèves :

« Quelles dimensions doit avoir la boîte si on veut un volume maximal ? »

 Niveau

Collège / Lycée

 Présentation

À chaque fois, la démarche initiale a été la même, et les élèves ont
rencontré les mêmes difficultés (en collège et en lycée).

 Objectifs

• Mise en situation des élèves face à un problème de type ouvert
• Construire un patron de pavé droit.
• Calculer le volume d’un pavé droit.
• Modéliser à l’aide d’une fonction (à partir de la troisième).
• Reconnaître un extremum (à partir de la seconde).
• Utiliser un tableur (calculatrice ou logiciel informatique) pour dresser un tableau de valeurs.
• Tracer la courbe d’une fonction à partir du tableau de valeurs (à partir de la troisième).
• Familiariser les élèves aux raisonnements conduisant à des expressions littérales.

 Durée

2 heures

 Notions réinvesties

• Les grandeurs et mesures.
• Les fonctions.

 Place du calcul

• Organisation réfléchie, conception de plusieurs calculs.
• Contrôle des résultats à chaque étape.
• Développer des stratégies à partir d’essais et de tâtonnements à la main ou à la calculatrice ou avec un tableur.

On introduit ainsi progressivement l’outil algébrique.
Les longueurs en fonction de $x$ ainsi que le volume.
On réfléchit ensuite aux valeurs que $x$ peut prendre.

Organiser

Analyser

Exécuter

Contrôler

Prendre des décisions

Piloter

 Mise en œuvre

• Les élèves ont commencé à construire des boîtes.

Le patron de la boîte n’ayant pas été donné, on a pu observer différents
types de boîtes, certaines avec des épaisseurs de papier, d’autres dont
les côtés ne se joignaient pas…
Il a fallu plusieurs essais pour faire émerger l’idée qu’il fallait enlever
un carré à chaque coin de la feuille.

Calcul numérique

• Une fois constaté que la forme de la boîte dépendait d’un carré à
  découper à chaque coin de la feuille, on a pu calculer les volumes des
  boîtes construites et comparer les résultats. (en collège et en lycée)

Les élèves ont rapidement l’idée de faire varier le côté du carré et donc
d’introduire une inconnue $x$ correspondant à la longueur de ce côté.

Calcul algébrique

En collège : les élèves réfléchissent à la réalisation de la feuille de calcul, la formule donnant le volume de la boîte n’intervient pas directement car les élèves prévoient de créer une colonne largeur, longueur et hauteur.

Le tableur leur permet de conjecturer

Changement de registre

En seconde : les élèves se lancent dans l’écriture de la fonction donnant le volume en fonction de $x$.

La calculatrice graphique leur permet de visualiser la courbe et de conjecturer le volume maximal.

En première : Les élèves émettent la conjecture avec le tableur ou en traçant la courbe représentant la fonction avec une calculatrice graphique puis la démontrent.

 Apport des Tice Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement

Le tableur permet de visualiser rapidement les différentes possibilités, de
calculer les volumes en fonction des différentes dimensions de la boîte, de
faire apparaître les essais successifs, de visualiser des courbes…

On retrouve ainsi les différents volumes calculés en début de séance.

 Aides possibles

• Aider les élèves pour l’écriture de la fonction exprimant le volume du pavé.
• Leur faire repérer la variable qui intervient dans le patron.