Les pièces

 Énoncé

 Niveau

Collège / Seconde

 Présentation

Calcul du nombre de pièces de 1 euro et de 10 cents pour obtenir 50,50 euros.

 Objectifs

• Travail sur un problème ouvert.
• Comparer les différentes démarches (calculatrice, tableur, schéma, calculs à la main, logiciel de géométrie, algorithmique).
• Poursuivre l’apprentissage du calcul sous toutes ses formes.

 Durée

1 heure ou en devoir maison

 Notions réinvesties

Sens des opérations sur les nombres décimaux, sur les diviseurs en raisonnant sur les nombres entiers, capacités numériques.

 Place du calcul

• Organisation réfléchie, conception de plusieurs calculs.
• Contrôle des résultats à chaque étape
• Développer des stratégies à partir d’essais et de tâtonnements à la main ou à la calculatrice, avec un tableur ou un logiciel de géométrie dynamique.

Organiser

Analyser

Exécuter

Contrôler

Prendre des décisions

Intelligence du calcul

Piloter

 Apport des Tice Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement

Raisonner et organiser sa démarche pour créer la feuille de calcul pour visualiser plusieurs essais.

 Mise en œuvre

Exercice donné en devoir à la maison dans une classe de seconde.

Seuls les élèves qui se sont lancés dans un système ont eu faux. Sur la classe : 60% a fait des essais/erreurs, 30% des systèmes, et 10% autres.

 Prolongements possibles ou autres déroulements possibles

Idée de Toulouse

Elle trouve son prolongement dans ce problème qui a été donné pour les
Olympiades dans l’académie de Toulouse cette année :

J’ai dans ma poche un certain nombre de pièces de 1, 2, 5 et 10 centimes éventuellement 0 pour certaines).
Je fais alors la constatation (C) suivante : avec ce que j’ai en poche je peux faire l’appoint de n’importe quelle somme de 1 à 99 centimes mais pas de 1 euro.

Partie A : combien ai-je en poche ?

Le but de cette partie est de déterminer toutes les valeurs possibles de la
somme totale que j’ai en poche et qui provoque la constatation (C).

1. Donner un exemple simple de somme que je peux avoir en poche.
2. Supposons que j’ai en poche une somme qui provoque la constatation (C).
   Je peux donc sortir de ma poche et poser sur la table 99 centimes.
   1. Peut-il me rester une pièce de un centime dans la poche ?
   2. Peut-il me rester une pièce de deux centimes dans la poche ?
   3. Peut-il me rester une pièce de cinq centimes dans la poche ?
3. Conclure.

Partie B : qu’ai-je en poche ?

Le but de cette partie est de déterminer tous les jeux de pièces que je peux
avoir en poche, c’est-à-dire tous les quadruplets (a ; b ; c ; d) d’entiers naturels tels que a pièces de 10 centimes, b pièces de 5 centimes, c pièces de
2 centimes et d pièces de 1 centime dans ma poche provoquent la constatation (C).

1. Montrer que si j’ai 99 centimes dans ma poche (toujours en pièces de 1,2,5 et 10 centimes...) dont au moins une pièce de 1 centime, alors je peux faire l’appoint de toutes les sommes de 1 à 99 centimes.
2. On peut prouver et on admet ici qu’il y a 2090 quadruplets (a ; b ; c ; d) d’entiers naturels tels que 10a+5b+2c+d=99 et 55 triplets (a ; b ; c ; d) d’entiers naturels tels que 10a+5b+2c = 99.
3. Conclure.

 Fichiers annexes

• Copies d’élèves

Les exemples proposés ci-dessous sont intéressants car les élèves abordent ce problème en utilisant la même démarche papier crayon qu’avec un tableur (essais, tâtonnements, …)

Difficulté dans le calcul numérique	Un tableur recopié manuellement ? Mais pas de justification de l’unicité
Avec justification de l’unicité	Essai - erreur, mais avec une analyse en amont

• Fichier tableur

Exemple de fichier tableur

format Excel - 10.7 kio