L’invasion des uns

 Présentation de l’activité

Parmi les nombres entiers de l’intervalle [0 ; 11 111 111 111], combien contiennent la séquence 111 dans leur écriture décimale ?

 Public / Niveau

• Testé en première STI Sciences et technologies industrielles (mathématiquement assez difficile)
• Réalisable en première et terminale

 Objectifs

• Scénario 1 :
  • Effectuer un dénombrement pour exprimer 4 suites ;
  • Utiliser un ordinateur pour effectuer des calculs fastidieux avec une calculatrice ;
  • Répondre à un problème ouvert.
• Scénario 2 :
  • Introduire la notion de suite grâce au tableur et à une démarche intuitive ;
  • Le dénombrement et la réponse à la question sont dans ce cas accessoires.

 Déroulement de l’activité

• Scénario 1 : Le cours sur les suites a déjà été fait

Sur plusieurs séances

Étape 1 : Poser le problème à chercher à la maison.
On peut pendant les cours suivants reprendre quelques minutes pour entendre les propositions et idées de chacun.

Étape 2 : On donne quelques indices.
Par exemple :

• La réponse ne contient qu’un seul diviseur premier inférieur à 1000 ;
• Combien y a-t-il de nombres répondant à la question à 4 chiffres, à 5 chiffres
  entre 0 et 1111, entre 0 et 11111 ?

Étape 3 : En salle informatique, travail sur une fiche élève (30 - 40 min) ou programmation à la calculatrice.

• Scénario 2 : Une activité d’introduction aux suites

Sur plusieurs séances

Étape 1 : J’ai donné en bonus d’un devoir :
Parmi les nombres entiers de l’intervalle [0 ; 11 111], combien contiennent la séquence 111 dans leur écriture décimale ?

Étape 2 : Lors du retour sur le devoir on a corrigé aussi le bonus pour que les élèves échangent leurs idées.

Étape 3 : Durant une heure en groupe (2 élèves par ordinateurs), les élèves font le TD.
Tous ne finissent pas.

Étape 4 : Retour en classe avec vidéo projecteur.
Réponse au problème, introduction des écritures u_n, u_n+1, (u_n)...

 Fichiers utiles

• Une fiche utilisant le tableur, à partir d’une feuille vide.

Fiche élève - Scénario 1 format PDF - 23.9 kio	Fiche élève - Scénario 1 format Word - 34 kio
Fiche élève - Scénario 2 format PDF - 28 kio	Fiche élève - Scénario 2 format Word - 37 kio

• La fiche élèves avec des remarques pédagogiques.

Fiche professeur - Scénario 1 format PDF - 36.3 kio	Fiche professeur - Scénario 1 format Word - 38 kio
Fiche professeur - Scénario 2 format PDF - 32.6 kio	Fiche professeur - Scénario 2 format Word - 40 kio

• Le fichier tableur complété.

Fichier tableur complété format OpenDocument Spreadsheet - 11.9 kio

Fichier tableur complété format Excel - 75.5 kio

• Quelques exemples de programmation des suites.

Explications format PDF - 23.7 kio

Fichier Mapple format Mapple - 2.5 kio

Fichier Calculatrice TI format TI - 175 octets Merci à Cyrille DOURIEZ

Programme Javascript format HTML - 1.7 kio

 Apport des TICE Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement

• Scénario 1

L’ordinateur permet d’automatiser des calculs laborieux avec une calculatrice.

• Scénario 2

Le tableur permet une entrée dans le domaine des suites assez intuitive.

 Pour aller plus loin (hors programme)

S. CHACROUN vous propose :

• Une autre preuve du résultat et une estimation de la limite de la probabilité de trouver un nombre à n chiffres qui contient 111.

Preuve

format PDF - 68.7 kio

• Une formule qui permet de trouver combien de nombres contiennent 111 dans l’intervalle [0,Mn] ; Mn étant le nombre qui s’écrit avec n fois le chiffre 1 en écriture décimale.

Formule format PDF - 35.2 kio

Fichier Mapple format Mapple - 6.4 kio

De plus, voici un algorithme « relativement rapide » pour obtenir la solution.

Algorithme

format PDF - 25.9 kio