Le pré et la chèvre

 Présentation de l’activité

Une personne possède un pré de forme carrée de 10m de côté.
Il attache une chèvre par une corde reliée à un piquet planté au milieu d’un des côtés.
Il souhaite que la chèvre broute une surface d’aire égale à la moitié de l’aire du pré.

Quelle longueur de corde doit-il laisser ?

 Public / Niveau

• Travail en binôme en classe de seconde "expérimentale" (élèves en grosses difficultés)
• Réalisable en collège (à partir de la 4ème si les élèves ont l’habitude d’utiliser le tableur)

 Ce qui a été fait avant

Séance réalisée en fin d’année, le programme de seconde est terminé, les élèves ont pas mal manipulé durant l’année l’outil TICE Technologies de l’information et de la communication pour l’enseignement .

 Thèmes abordés

• Pythagore.
• Calcul de l’aire d’un secteur angulaire.
• Trigonométrie.

 Déroulement de l’activité

Le problème a été traité sur 3 séances d’une heure.

Séance 1 : Non TICE

• On entre dans le problème avec une version plus simple du problème posé :

Une personne possède un pré de forme carrée de 10m de côté.
Il attache une chèvre par une corde reliée à un piquet planté au milieu d’un des côtés.

1. Quelle surface la chèvre peut-elle brouter si la corde mesure 4m ?
2. Quelle surface la chèvre peut-elle brouter si la corde mesure 6m ?

Ici, pas besoin de TICE pour s’approprier le problème (même si le demi-disque ne vient pas tout de suite pour tous).

• Évidement, le problème apparait pour la deuxième question.
  Je demande alors aux élèves de réfléchir à une technique pour calculer l’aire. Plusieurs découpages sont proposés :

Le premier découpage est écarté, car aucune solution pour calculer l’aire verte ne semble évidente.
La plupart des binômes travaillent sur la deuxième proposition : la difficulté est relative, car les élèves ont été confrontés au scénario « La courroie » trois semaines avant. Le calcul de l’aire du secteur angulaire est plus facile.

• Tous les élèves ne finissent pas dans l’heure.

Séance 2 : Salle informatique

• On revient sur les idées de la séance précédente et les étapes de calcul.

• Ceux qui n’ont pas fini le calcul de la précédente séance terminent sur feuille, les autres passent à la question qui nous intéresse :

Il souhaite que la chèvre broute une surface d’aire égale à la moitié de l’aire du pré. Quelle longueur de corde doit-il laisser ?

Les remarques des élèves sont : « Déjà, on sait que c’est plus que 6 mètres », « On peut faire des essais », « Oui, mais ça va être super long ! ».

• Je propose alors aux élèves « d’apprendre au tableur », comment faire, en travaillant étape par étape. Ensuite, il suffira d’essayer des valeurs pour trouver.
  Voici un exemple de fichier réalisé par un groupe :

Fichier tableur d’un élève

format Excel - 46.5 kio

Les élèves vérifient leurs formule avec L=4 et L=6 qu’ils ont calculé.

• À la fin de la séance, tous les élèves ont trouvé l’aire pour L=6 (ce qui est déjà bien), une bonne moitié travaille sur le tableur et un groupe a fini.

Séance 3 : Prolongements

• Les élèves terminent leurs fichiers. On cherche le résultat à près.

• Pour ceux qui ont fini, je propose un prolongement, puis un autre :

1. Quelle doit être la longueur minimale de la corde pour que la chèvre puisse brouter tout le pré ?
2. Tracer la courbe représentant la fonction qui donne l’aire en fonction de la longueur de la corde sur l’intervalle [0 ; 15].
   Deux binômes arrivent au bout des prolongements.

Fichier tableur d’un élève

format Excel - 299.5 kio

 Aides apportées

Les aides techniques sont données au fur et à mesure des demandes et sont écrites au tableau pour la classe.
En particulier, le problème de conversion d’unité prévisible. Même en 2009 où le radian était encore au programme en seconde, j’avais donné la fonction “DEGRES” pour convertir les radians en degrés.

 Fichiers utiles

Une figure sous GeoGebra pour illustrer le problème, mais qui ne m’a pas servi.

Fichier GeoGebra

format Fichier GeoGebra - 3.2 kio

 Apport des TICE

Répondre à un problème que je ne sais pas faire autrement.