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Sommaire

{{{Présentation de l'activité}}} Résoudre les équation diophantiennes $x^2+4y^2=8633$ et $x^2-4y^2=8633$ {{{Public/niveau}}} Terminale S spécialité {{{Objectif}}} -* Résolution d'une équation diophantienne. -* Utilisation des références mixtes du tableur quand cela s'avère réellement utile. -* Découverte de la mie en forme conditionnelle. {{{Déroulement de l'activité}}} Le sujet est écrit au tableau : -# À l’aide du tableur, d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel, déterminez une décomposition en facteurs premier de 8633. -# Résoudre dans $\mathbb{N}$ : $x^2-4y^2=8633$ -# Résoudre dans $\mathbb{N}$ : $x^2+4y^2=8633$ -* La première question ne pose pas de difficulté et peut être l'occasion de mettre en place un algorithme simple. -* La deuxième question est mathématiquement simple. Ceux qui se lancent sur une recherche par ordinateur se trouvent rapidement bloqués devant l'infinité de possibilités à tester. -* Pour la troisième question, cette fois ci n'est pas simple mais on peut heureusement faire une majoration de x et y et programmer l'ensemble de solution.
Reste que si le nombre de possibilité est fini, il faut les retrouver parmi les $93\times47$ soit 4371 possibilités : L'usage d'une mise en forme conditionnelle et/ou d'un NB.SI peut alors grandement aider à repérer le solutions. {{{La question 3 sans les TICE}}} {{Question d'un élève :}} Peut-on résoudre cet exercice sans un ordinateur sous la main ? Merci à Philippe DOMERGUE pour cette proposition de démarche alternative : -# Développer (a² + b²)(c² + d²) puis (ac + bd)² + (bc - ad)².
Que remarque-t-on ?
{{On admettra que la remarque est valable aussi pour (ac - bd)² + (bc + ad)².}} -# Écrire 89 sous la forme a² + b². -# Écrire 93 sous la forme c² + d². -# Achever la résolution du problème posé.
{{{Apport des TICE}}} -* Résoudre la question 3 (dans le cas borné, le tableur permet de traiter tous les cas possibles). -* Visualiser l'ensemble des solutions dans le cas réel. {{{Prolongements possibles}}} -* Représenter ces solutions dans $\mathbb{R}^2$ avec GeoGebra : il suffit de taper l'équation dans la barre de saisie en bas et à l'aide de la grille, donner du sens à la recherche des couples d'entiers. -* Discussion avec les élèves autour de la véracité d'une preuve par la machine. {{{Fichiers utiles}}} {{{Variante}}} Une activité proposée par Nicolas DANIEL. | | |

Équations diophantiennes du second degré

Niveau Terminale S Spécialité ; Tableur

Facile

Manipulation de l’ordinateur

En groupe

Présentation de l’activité

Résoudre les équation diophantiennes x^2+4y^2=8633 et x^2-4y^2=8633

Public/niveau

Terminale S spécialité

Objectif

  • Résolution d’une équation diophantienne.
  • Utilisation des références mixtes du tableur quand cela s’avère réellement utile.
  • Découverte de la mie en forme conditionnelle.

Déroulement de l’activité

Le sujet est écrit au tableau :

  1. À l’aide du tableur, d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel, déterminez une décomposition en facteurs premier de 8633.
  2. Résoudre dans \mathbb{N} : x^2-4y^2=8633
  3. Résoudre dans \mathbb{N} : x^2+4y^2=8633
  • La première question ne pose pas de difficulté et peut être l’occasion de mettre en place un algorithme simple.
  • La deuxième question est mathématiquement simple. Ceux qui se lancent sur une recherche par ordinateur se trouvent rapidement bloqués devant l’infinité de possibilités à tester.
  • Pour la troisième question, cette fois ci n’est pas simple mais on peut heureusement faire une majoration de x et y et programmer l’ensemble de solution.
    Reste que si le nombre de possibilité est fini, il faut les retrouver parmi les 93\times47 soit 4371 possibilités : L’usage d’une mise en forme conditionnelle et/ou d’un NB.SI peut alors grandement aider à repérer le solutions.

La question 3 sans les TICE

Question d’un élève : Peut-on résoudre cet exercice sans un ordinateur sous la main ?

Merci à Philippe DOMERGUE pour cette proposition de démarche alternative :

  1. Développer (a² + b²)(c² + d²) puis (ac + bd)² + (bc - ad)².
    Que remarque-t-on ?
    On admettra que la remarque est valable aussi pour (ac - bd)² + (bc + ad)².
  2. Écrire 89 sous la forme a² + b².
  3. Écrire 93 sous la forme c² + d².
  4. Achever la résolution du problème posé.

Apport des TICE

  • Résoudre la question 3 (dans le cas borné, le tableur permet de traiter tous les cas possibles).
  • Visualiser l’ensemble des solutions dans le cas réel.

Prolongements possibles

  • Représenter ces solutions dans \mathbb{R}^2 avec GeoGebra : il suffit de taper l’équation dans la barre de saisie en bas et à l’aide de la grille, donner du sens à la recherche des couples d’entiers.
Image GeoGebra
  • Discussion avec les élèves autour de la véracité d’une preuve par la machine.

Fichiers utiles

Exemple de réponse à la question 3 format Excel - 168.5 ko

Variante

Une activité proposée par Nicolas DANIEL.

Variante proposée par Nicolas DANIEL format PDF - 67.9 ko
Variante proposée par Nicolas DANIEL format LaTeX - 3.6 ko
Mise à jour : 12 avril 2018