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Équations diophantiennes du second degré

Facile
Niveau Terminale S Spécialité
Manipulation de l’ordinateur
En groupe
Tableur

Présentation de l’activité

Résoudre les équation diophantiennes $x^2+4y^2=8633$ et $x^2-4y^2=8633$

Public/niveau

Terminale S spécialité

Objectif

  • Résolution d’une équation diophantienne.
  • Utilisation des références mixtes du tableur quand cela s’avère réellement utile.
  • Découverte de la mie en forme conditionnelle.

Déroulement de l’activité

Le sujet est écrit au tableau :

  1. À l’aide du tableur, d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel, déterminez une décomposition en facteurs premier de 8633.
  2. Résoudre dans $\mathbb{N}$ : $x^2-4y^2=8633$
  3. Résoudre dans $\mathbb{N}$ : $x^2+4y^2=8633$
  • La première question ne pose pas de difficulté et peut être l’occasion de mettre en place un algorithme simple.
  • La deuxième question est mathématiquement simple. Ceux qui se lancent sur une recherche par ordinateur se trouvent rapidement bloqués devant l’infinité de possibilités à tester.
  • Pour la troisième question, cette fois ci n’est pas simple mais on peut heureusement faire une majoration de x et y et programmer l’ensemble de solution.
    Reste que si le nombre de possibilité est fini, il faut les retrouver parmi les $93\times47$ soit 4371 possibilités : L’usage d’une mise en forme conditionnelle et/ou d’un NB.SI peut alors grandement aider à repérer le solutions.

La question 3 sans les TICE

Question d’un élève : Peut-on résoudre cet exercice sans un ordinateur sous la main ?

Merci à Philippe DOMERGUE pour cette proposition de démarche alternative :

  1. Développer (a² + b²)(c² + d²) puis (ac + bd)² + (bc - ad)².
    Que remarque-t-on ?
    On admettra que la remarque est valable aussi pour (ac - bd)² + (bc + ad)².
  2. Écrire 89 sous la forme a² + b².
  3. Écrire 93 sous la forme c² + d².
  4. Achever la résolution du problème posé.

Apport des TICE

  • Résoudre la question 3 (dans le cas borné, le tableur permet de traiter tous les cas possibles).
  • Visualiser l’ensemble des solutions dans le cas réel.

Prolongements possibles

  • Représenter ces solutions dans $\mathbb{R}^2$ avec GeoGebra : il suffit de taper l’équation dans la barre de saisie en bas et à l’aide de la grille, donner du sens à la recherche des couples d’entiers.
Image GeoGebra
  • Discussion avec les élèves autour de la véracité d’une preuve par la machine.

Fichiers utiles

Exemple de réponse à la question 3 format Excel - 168.5 ko

Variante

Une activité proposée par Nicolas DANIEL.

Variante proposée par Nicolas DANIEL format PDF - 67.9 ko
Variante proposée par Nicolas DANIEL format LaTeX - 3.6 ko
Mise à jour : 5 mai 2012